Koordinate System, Euler Angle, Cardan Angle, Rotation Matrix

Koordinatensysteme und Transformation

Koordinatensysteme und Konfiguration des Einzelkörpers

로봇운동학을 계산하기 위해 두 가지 주요 좌표계가 도입된다.

• Ein inertial festes KOS / 관성 고정 좌표계 - Basis \(B_0\) : 공간에 고정된 기준 시스템

• Ein körperfestes KOS / 본체 고정 좌표계 - Basis \(B_i\) : 각 몸체 \(i\)에 고정되어 함께 움직이는 시스템.

• Konfiguration des Einzelköpers : 강체 하나의 상태를 고유하게 설명하려면 6개의 파라미터가 필요하다.
  1. 위치 $r_i$ : $B_0$에 대한 $B_i$의 원점 위치
  2. 방향 : $B_0$에 대한 $B_i$의 회전 상태

각각 총 3개의 파라미터가 필요하다.

좌표 변환 수식: 점 $P$의 위치를 $B_0$에서 $B_i$로 변환하는 관계식은 다음 과 같다. \(_{i}r_P = _{i}A_0 \ _0 r_p\)

여기서 $_{i}A_0$은 3x3 회전 행렬이다.

Koordinatentransformation

Elementardrehungen / 기본 회전

축 $x, y, z$를 중심으로 하는 기본 회전 행렬은 다음과 같다.

축	회전행렬($A$)
$x$축($\alpha$)	\(A_x(\alpha) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\ 0 & -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}\)
$y$축($\beta$)	\(A_y(\beta) = \begin{pmatrix} \cos(\beta) & 0 & -\sin(\beta) \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin(\beta) & 0 & \cos(\beta) \end{pmatrix}\)
$z$축($\gamma$)	\(A_z(\gamma) = \begin{pmatrix} \cos(\gamma) & \sin(\gamma) & 0 \\ -\sin(\gamma) & \cos(\gamma) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)

Räumliche Drehungen

공간의 일반적 회전은 세 개의 기본회전(Elementardrehungen)을 연속적으로 결합해서 표현 가능한다. Orthonormale Basis를 사용하면, 각 좌표계의 단위벡터($e_i$) 길이가 1이고, 서로 수직이기 때문.

회전행렬의 각 열은 회전된 시스템의 단위 벡터로 구성되기때문에, 다음 성질이 성립한다. \(_jA_i^T \ _{j}A_i = E \newline \Rightarrow _{i}A_j^{-1} = _{i}A_j^T\)

즉, 회전행렬의 역행렬은 전치행렬과 같다.

Euler-Winkel / 오일러 각도

$z - x - z$ 순서로 세 번 회전해서 일반적인 공간 회전을 표현한다.

$\varphi$ (phi) 0°

$\vartheta$ (theta) 0°

$\phi$ (psi) 0°

초기 상태

Phase

Step 1: $I_z$축(초기 $z$축)을 기준으로 $\varphi$ 만큼 회전한다.
Step 2: 새로 형성된 $1_x$축을 기준으로 $\vartheta$만큼 회전한다.
Step 3: 최종 $K_z$축을 기준으로 $\phi$만큼 회전한다. \

최종 회전행렬은 다음과 같다.

만약 두번째 회전각도인 $vartheta$가 0이 되면, 첫번째회전($\varphi$)과 세번째 회전($\phi$)이 모두 동일한 $z$축 상에서 일어나게 된다. 이 경우 회전 행률은 단순히 $z$축에 대한 A_z($\varphi + \phi$)회전이 되어, 각 파라미터를 고유하게 결정할 수 없는 특이점 상태에 빠진다.

각속도 $\omega$ 는 개별 회전 속도의 벡터 합으로 표현된다. \(\omega = \dot{\varphi} \mathbf{e}_z^{(0)} + \dot{\vartheta} \mathbf{e}_x^{(1)} + \dot{\phi} \mathbf{e}_z^{(2)}\)

여기서:

• $\dot{\varphi}$ : 첫 번째 $z$축 회전의 각속도
• $\dot{\vartheta}$ : 두 번째 $x$축 회전의 각속도
• $\dot{\phi}$ : 세 번째 $z$축 회전의 각속도
• $\mathbf{e}_z^{(0)}$ : 초기 $z$축 단위벡터
• $\mathbf{e}_x^{(1)}$ : 첫 번째 회전 후 새로운 $x$축 단위벡터
• $\mathbf{e}_z^{(2)}$ : 두 번째 회전 후 새로운 $z$축 단위벡터

이를 수치적으로 계산할때, $\vartheta = 0$근처에서는 파라미터 변화율이 $\frac{1}{sin \varphi}$에 비례해서 무한대로 발산하므로 주의가 필요하다. 따라서 실제 로봇 제어시엔 이러한 특이점이 없는 Quaternionen or 다른 파라미터화 방식을 고려한다.

Kardan-Winkel / 카단 각도

오일러 각도의 대안으로 $x - y - z$ 순서로 회전하는 방식이다. $\alpha , \beta, \gamma $

$\alpha$ (alpha) 0°

$\beta$ (beta) 0°

$\gamma$ (gamma) 0°

initial state

Phase

Step 1: 초기 $x$축을 기준으로 $\alpha$ 만큼 회전한다.
Step 2: 새로 형성된 $y$축을 기준으로 $\beta$ 만큼 회전한다.
Step 3: 최종 $z$축을 기준으로 $\gamma$ 만큼 회전한다. \

전체 시스템 구성의 최소좌표

N개의 몸체로 구성된 다물체 시스템을 $6N$개의 좌표로 설명하는 것은 Redundant가 발생한다. 로봇은 관절로 연결되어 있어 자유로운 움직임에 제약이 있기 때문. 그래서 우리는 최소좌표(Minimalkoordinaten $q$)를 설정한다. 이것은 시스템 구성을 고유하게 설명하는 최소한의 파라미터 집합이다.

로보틱스에서는 보통 관절각도(회전)이나 이동변위를 최소좌표로 선택함.

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1.1 Freiheitsgrade (FhG, 자유도)와 Konfiguration

로봇시스템의 상태를 정의하기 위해서, 가장 먼저 시스템의 자유도를 파악해야 한다.

자유도?

시스템의 기하학적 상태를 유일하게 설명하기 위해 필요한 독립적인 변수의 수.

Elastischer Körper (탄성체)

각 점이 독립적으로 움직일 수 있으므로 unendliche FhG (무한 자유도) 를 가진다.

Starrkörper (강체)

• 2D (Ebene) : 2개의 Translation 과 1개의 Rotation 으로 총 3 FhG

• 3D (Raum) : 3개의 Translation 과 3개의 Rotation 으로 총 6 FhG

Doppelpendel (이중 진자)

2개의 회전 관절이 있으므로, 2 FhG

좌표 표현

• Minimalkoordinaten (\(q\)) : 시스템의 상태를 중복 없이 설명하는 최소한의 변수 집합, Gelenkfreiheitsgrad (관절자유도) 를 의미함.

• Arbeitsraum (\(w\)) : 로봇의 Endeffektor (말단 장치) 의 위치와 방향을 표현하는 공간

1.2 KOS and Transformation

벡터를 서로 다른 좌표계 사이에서 변환하는 능력

• Ortsvektor (위치 벡터) : 점 P 의 위치를 \(B_i\) 좌표계에서 바라본 벡터는 \(^{i}r_P\)
  • Sum of vectors: 점 C 에서 B 로 가는 벡터 \(r_{CB} := -r_{AC} + r_{AB}\) 처럼 경로를 따라 계산 가능하다.
• Rotationsmatrix (회전 행렬, A) : 어떤 좌표계의 표현을 다른 좌표계로 바꿀 때 사용하며, Orthonormal 특성을 가진다.
  • 주요 성질 \(^i A^{-1}_j = ^i A^T_j\)

  (역행렬은 전치행렬과 같다)

  • 좌표 변환 \(^i r_P = ^i A_0 \cdot ^0 r_P\)

  (0 좌표계의 벡터를 i 좌표계로 변환)

• **Homogene Transformation (D)$$ : 회전 행렬 A 와 위치벡터 $r$ 을 4 X 4 행렬 하나에 합쳐놓은 것.

1.3 Relativekinematik (상대 운동학) - 속도, 가속도

강체 위 한 점의 속도와 가속도를 계산하는 핵심 수식

• Tilde-Operator (\(\tilde{\square}\)) : Kreuzprodukt 를 행렬 곱셈으로 바꾸기 위해 도입했고, Wikelgeschwindigkeit (각속도, \(\omega\)) 에 대해 다음과 같이 정의한다.

\[\omega \times r = \tilde{\omega}r\]

• Geschwindigkeit (velocity, \(v\)) : 강체 \(k\) 위의 한 점 P의 절대 속도 \(^k v_p\) 는 기준점 M 의 속도와 상대 회전 속도의 합으로 나타난다
  • 일반 수식:

\(^k v_p = ^k v_k + ^k \omega \times ^k r_{kP} + ^k \dot{r}_{kP}\)

• 만약 점 P가 강체에 고정되어 있다면 \(^k \dot{r}_{kP} = 0\) (상대적으로 움직임이 없다) 가 된다.

• Beschleunigung (accelerate, $a$) : 코리올리 가속도 등을 포함한 복합적인 가속도 성분 고려

\[^k a_P = ^k a_k + (^k \dot{\tilde{\omega}} + ^k \tilde{\omega}^k \tilde{\omega}) ^k r_{kP} + 2 ^k \tilde{\omega}^k \dot{r}_{kP} + ^k \ddot{r}_{kP}\]

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Quiz: Freiheitsgrade & Transformation