Denavit-Hartenberg (DH) Parameter

Denavit-Hartenberg Convention and Homogene Transformation

DH Convention

로봇의 두 Körper 사이의 상대적인 위치와 방향을 4개의 파라미터로 정의하는 방법이다.

DH Parameter

Parameter	Description
\(a_{i-1}\)	\(x_{i-1}\) 축을 따라 측정한 \(z_{i-1}\) 축과 \(z_i\) 축 사이의 거리
\(\alpha_{i-1}\)	\(x_{i-1}\) 축을 따라 측정한 \(z_{i-1}\) 축과 \(z_i\) 축 사이의 회전각
\(d_{i-1}\)	\(z_{i}\) 축을 따라 측정한 \(x_{i-1}\) 축과 \(x_i\) 축 사이의 거리
\(\theta_{i-1}\)	\(z_{i}\) 축을 따라 측정한 \(x_{i-1}\) 축과 \(x_i\) 축 사이의 회전각

KOS Setting rules

1. Körper / Achse 에 번호

• Körper는 \(1\) 부터 \(N\) 까지,
• Achse는 \(1\) 부터 \(N\) 까지,
• Körper 0은 Basis 이다.

1. \(z_{i-1}\) Achse 세팅

• Bewegungsachse \(i-1\) 과 동일하게 설정한다.

1. Ursprung \(B_{i-1}\) 설정

• Achse \(i-1\)과 \(z_{i-1}, z_i\) 의 공통 수선이 만나는 지점.
• 축들이 교차하는 경우엔 교차점을 Ursprung 으로 설정한다.

1. \(x_{i-1}\) Achse 세팅

• \(z_{i-1}\) 에서 \(z_i\) 로 향하는 공통 수선을 따라 설정한다.
• 축들이 평행할경우 - 임의로 선택 가능하지만, 주로 파라미터가 0 이 되도록 세팅.
• 축들이 교차할 경우 \(z_{i-1}\)와 \(z_i\) 가 이루는 평면에 수직이 되도록 세팅

1. \(y_{i-1}\) Achse 설정

• 오른손 법칙에 따라 결정 (\(x_{i-1} \times z_{i-1}\))

1. 특수한 경우,
   • \(B_0\) : 종종 \(q_1 = 0$ 일때는,\)B_1$$과 동일하게 세팅한다.
   • \(B_N\) (Endeffektor) : 가능한 많은 dh-parameter 가 0이 되도록 선택한다.

Homogene Transformation (동차 변환, \(D\))

Drehmatrix 와 Ortsvektor 를 하나의 \(4 \times 4\) matrix 로 통합해서 좌표계 간의 변환ㅇ르 간결하게 표현.

• 구조:

\[_j D_{i} = \begin{bmatrix} _{j} A_{i} & _{j} r_{ji} \\ \mathbf{0} & \mathbf{1} \end{bmatrix}\]

여기서

• \(_j A_i \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) : Rotation matrix이고, 시스템의 i의 벡터를 시스템의 j 벡터로 변환한다.
• \(_j r_{ji} \in \mathbb{R}^3\) : Ortsvektor (Translation), 시스템 j 에서 시스템 i 의 ursprung 위치를 나타낸다.

이것을 사용해서

\[_{j} r_{jP} = _{j} r_{ji} + _{j} A_{i} \ {}_{i} r_{iP}\]

로 나타낼 수 있는데 이게

\[\begin{bmatrix} _{j} r_{jP} \\ \mathbf{1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} _{j} A_i & _{j} r_{ji} \\ \mathbf{0} & \mathbf{1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} _{i} r_{iP} \\ \mathbf{1} \end{bmatrix}\]

이것을 사용해서 DH transformation 을 만들 수 있다.

DH Transformation \({}^{i-1} D_i\)

방법

1. Rotation \(-\theta_i\) um \(z_i\)

\[D_1 = \begin{bmatrix} A_z (-\theta_i) & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{1} \end{bmatrix}\]

2.Translation \(-d_i\) entlang \(z_i\)

\[D_2 = \begin{bmatrix} \mathbf{E} & e_z d_i \\ \mathbf{0} & \mathbf{1} \end{bmatrix}\]

3.Translation \(-a_{i-1}\) entlang \(x_{i-1}\)

\[D_3 = \begin{bmatrix} \mathbf{E} & e_x a_{i-1} \\ \mathbf{0} & \mathbf{1} \end{bmatrix}\]

4. Rotation \(-\alpha_{i-1}\) um \(x_{i-1}\)

\[D_4 = \begin{bmatrix} A_x (-\alpha_{i-1}) & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{1} \end{bmatrix}\]

Somit ergibt sich die resultierend homogene Transformation zu:

---

Example

예시를 통해 알아보자.

이렇게 파라미터가 있다고 가정한다.

여기서 마지막 몸체에서 inertial system 으로의 변환은

\[{}_0 \mathbf{D}_3 = {}_0 \mathbf{D}_1 {}_1 \mathbf{D}_2 {}_2 \mathbf{D}_3\]

와 같다.

이걸 계산을 따따따 하면

\[{}_0 \mathbf{D}_1 = \begin{bmatrix}\mathbf{E} \mathbf{A}^T_z (q_1) & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c q_1 & -s q_1 & 0 & 0 \\ s q_1 & c q_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

마찬가지로 계산을 쭉쭉 하다보면

\[{}_1 \mathbf{D}_2 = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c q_2 & -s q_2 & 0 \\ s q_2 & c q_2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c q_2 & -s q_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -s q_2 & -c q_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

그리고

\[{}_1 \mathbf{D}_2 = \begin{bmatrix} c q_3 & -s q_3 & 0 & l \\ s q_3 & c q_3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

이렇게 쭉쭉 계산이 가능하다. 참고로 \({}_1 \mathbf{D}_3\)는 \({}_1 \mathbf{D}_2 {}_2 \mathbf{D}_3\) 로 계산 가능하다.

\[{}_1 \mathbf{D}_3 = \begin{bmatrix} c q_2 c q_3 - s q_2 s q_3 & - c q_2 s q_3 - s q_2 c q_3 & 0 & c q_2 l \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -cq_2 s q_3 - s q_2 c q_3 & - c q_2 c q_3 - s q_2 c q_3 & 0 & -s q_2 l \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c q_{23} & -s q_{23} & 0 & c q_2 l \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -s q_{23} & -c q_{23} & 0 & -s q_2 l \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\]

마찬가지로 3 to 0 은

\[{}_0 \mathbf{D}_3 = {}_0 \mathbf{D}_1 {}_1 \mathbf{D}_3 = \begin{bmatrix} c q_1 c q_{23} & - c q_1 s q_{23} & -s q_1 & c q_1 c q_2 l \\ s q_1 c q_{23} & - s q_1 s q_{23} & c q_1 & w q_1 c q_2 l \\ -s q_{23} & -c q_{23} & 0 & -s q_2 l \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {}_0 A_3 & {}_0 r_{03} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]

Direct Kinematic

여러개의 Gelenk 를 가진 로봇의 경우, 각 관절의 변환행렬은 순차적으로 곱해서 Basis에 대한 Tool-Center-Point (TCP, Endeffektor) 의 위치를 구한다.